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Este problema es debido a los sistemas de seguridad de las últimas actualizaciones de Java.

Para solucionarlo hay que ir al Panel de Control de Windows. Buscar el icono de Java (la tacita). Hacer "clic" sobre él. En la ventana que aparece abrir la pestaña "Seguridad" y en ella se debe de bajar un cursor del nivel de seguridad de alto a medio. Aceptar todo.

Se puede acceder a la misma ventana a través de este otro camino: Inicio > Todos los Programas > Java > Configure Java.

Ahora ya se puede ir a cualquier navegador y funcionará. Debemos decir si nos pregunta que queremos ejecutar el applet y que aceptamos "los riesgos". (Aquí todos vivimos al límite).
Hay que tener en cuenta que hasta que no cerremos los navegadores y los volvamos a abrir no se aplicarán los cambios.
Si no funciona puede que sea necesario reiniciar el ordenador.