CURVAS

DEFINICIONES:

La definición de línea curva ha ido cambiando con el tiempo: desde la idea de curva como intersección de dos superficies, o como lugar geométrico de un punto que se mueve, hasta la más moderna de lugar geométrico de los puntos que satisfacen ciertas ecuaciones. La idea de curva es tan general que no tiene una definición precisa: En una enciclopedia de la lengua española puede leerse: "una curva es una línea que cambia de dirección constantemente sin formar ángulos". Pero esta definición no incluiría curvas como las que siguen, ni muchas otras:

Aquí nos conformaremos pues con definir curvas en casos particulares. Según su génesis reciben nombres concretos: elipses, parábolas, hipérbolas (cónicas), cicloides, epicicloides, cardioides, geodésicas, catenarias, espirales, sinusoides, …

Si una curva está en un plano, se llama plana; si no está contenida totalmente en un plano se dice que es alabeada.

Las curvas tienen varias características:

Una de ellas es la curvatura que traduce la idea de que gire más o menos deprisa; una recta tiene curvatura cero (radio de curvatura infinito).

Otra es la concavidad y la convexidad, según se curven hacia dentro o hacia fuera (mirando la curva desde arriba del eje de coordenadas Oy)

Si en un punto la curva es más baja que en los alrededores de él, se dice que es un mínimo relativo de la curva; si es más alta en dicho punto que en los alrededores se dice que es un máximo relativo.

Si en un punto la curva cambia de cóncava a convexa o de convexa a cóncava, dicho punto se llama de inflexión.

Si un tramo de la curva se repite cada cierto intervalo, entonces se llama periódica,

COMENTARIOS:

Muchas veces las curvas representan la gráfica de un fenómeno en el que una variable depende de otras. Por ejemplo, en la figura adjunta se ha representado el número de habitantes en un país (variable dependiente) en función del año (variable independiente).

Algunas veces, las curvas representan trayectorias de elementos en movimieno sujetos a leyes naturales o artificiales: La luz va de un punto a otro siguiendo el camino más corto, dando lugar a líneas geodésicas.

Otras veces las curvas representan estructuras estáticas resultado del equilibrio de fuerzas diversas, como la gravedad: El peso de un cable colgado de dos postes hace que adopte la forma de una curva especial llamada catenaria.

La distinta humedad ambiente, el viento, etc., hace que los árboles adopten diversas formas curvas …

Las matemáticas ayudan a describir estas curvas mediante ecuaciones y algoritmos. Las curvas traducen un proceso y pueden obtenerse como proyecciones de otras curvas, intersecciones de superficies, como sombras de formas diversas, contornos, secciones de cuerpos, …

En el apartado de espirales puede observarse una de las variedades de curvas más abundantes.

RELACIONES:

Ecuaciones de una curva:

Eligiendo unos ejes de coordenadas convenientes, muchas veces es posible describir una curva mediante ecuaciones. Veamos algunos casos sencillos:

Ecuaciones paramétricas de una recta en el plano:

En el plano, si (x₀,y₀) es un punto dado de la recta y (u,v) su dirección, cualquier otro punto (x,y) de la recta puede obtenerse dando valores al parámetro t (número real)

Ecuación implícita de la recta:

Eliminando el parámetro t de las ecuaciones anteriores, se obtiene la ecuación implícita (o general) de la recta en el plano:

ax+by+c=0

Ecuación paramétrica de la circunferencia centrada en el origen:

Si (0, 0) es el centro de la circunferencia y r es el radio; t es el ángulo de un punto de la circunferencia respecto a la horizontal, se tiene:

Ecuación cartesiana de la circunferencia centrada en el origen:

Eliminando el parámetro t de las ecuaciones anteriores se obtiene

x² + y² = r²

Ecuaciones de parámetrica y general de curvas en el plano:

Algunas curvas pueden ser descritas mediante un sistema de ecuaciones paramétricas

siendo f y g funciones del parámetro t.

Si es posible eliminar t, se obtiene la ecuación general de la curva:

F(x,y)=0

Ecuaciones de curvas en coordenadas polares:

Muchas veces, son más apropiadas que las coordenadas cartesianas las coordenadas polares de un punto. En este caso, un punto P viene determinado por su radio vector r =OP (distancia al polo O) y por el ángulo polar q que forma el radio vector con el eje polar OH:

Por ejemplo:

La circunferencia de radio a tiene como ecuación polar r =a; la espiral de Arquímedes tiene como ecuación r = aq , siendo a un número real; la ecuación polar r =asen3q representa un trébol cuyas hojas tienen longitud a.

Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio:

En el espacio, si (x₀, y_0, z₀) es un punto dado de la recta y (u,v,w) su dirección, cualquier otro punto (x, y, z) puede obtenerse dando valores al parámetro t:

Ecuación implícita de la recta:

Eliminando el parámetro t de las ecuaciones anteriores, se obtiene la ecuación implícita (o general) de la recta en el plano, y en el espacio, respectivamente:

En el espacio:

Cada una de estas dos ecuaciones es un plano en el espacio. Su intersección es una recta.

Ecuación de la esfera centrada en el origen en coordenadas polares o esféricas:

Si (0, 0, 0) es el centro de la circunferencia y r es el radio; q es la longitud y j es la latitud del punto P de la esfera, se tiene:

Ecuación de la esfera centrada en el origen en coordenadas cartesianas:

Aplicando dos veces el teorema de Pitágoras a la figura anterior, se obtiene

x²+y²+z² = r²