Área del círculo
¿De dónde sale la fórmula?
A = 
x r²
Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?
Lo que vamos a hacer es romper un círculo en pequeños trozos y con ellos volver a armarlo en una forma de la cual conocemos cómo calcular su área... el rectángulo.
Tal vez te preguntes ¿cómo haremos para reordenar las piezas de un círculo y armar un rectánculo? Vamos a verlo... ¡es fácil!
Comenzaremos con el círculo que queremos dividir:
Ahora, dividiremos el círculo en 4 partes:
Luego las ensamblamos tratando de formar un rectángulo:
No es exactamente un rectángulo, ¿no? Pero no hemos terminado todavía.
Vamos a romper el círculo en trozos más pequeños, en octavos:
... y organizamos las piezas en forma rectangular:
Este, sin duda, comienza a verse como un rectángulo, ¡pero todavía falta! El siguiente paso es volver a dividir en trozos más pequeños:
Al ponerlos juntos estamos más cerca de parecerse a un rectángulo:
El objetivo es lograr una forma lo más cercana posible al rectángulo, de manera que podamos encontrar su área utilizando la fórmula del rectángulo: A = l x a
Seguimos rompiendo el círculo en piezas más pequeñas. Al ordenar todas las piezas, la forma sería algo como esto:
Esta figura es muy cercana a un rectángulo perfecto, pero puedes ver que la parte superior e inferior no están aún perfectamente rectas.
¿Puedes visualizar lo que sucederá si continuamos rompiendo el círculo en piezas cada vez más y más pequeñas?
Las piezas serían tan pequeñas que no las podríamos ver y la parte superior e inferior del rectángulo formado con ellas parecerían perfectamente rectas. Esto es lo que queremos ver:
¡Un rectánculo perfecto! Ahora, todo lo que tenemos que hacer es encontrar su área, utilizando la fórmula A = l x a
La siguiente pregunta es: ¿Cuál es el largo y el ancho de nuestro rectángulo hecho con partes del círculo?
Vamos a volver a una imagen anterior, para que puedas ver las partes del círculo más claramente:
La longitud del círculo original es la distancia alrededor, o sea la circunferencia:
La mitad de esta distancia alrededor del círculo, r, va en la parte superior del "rectángulo", y la otra mitad, también de longitud r, va en la parte inferior:
En otras palabras, sumadas la parte superior e inferior obtenemos 2r, o sea la longitud de la circunferencia.
El ancho del "rectángulo" es el radio del círculo r.
Entonces, sabemos que el largo del "rectángulo" es r y el ancho es r. Ahora podemos encontrar el área del rectángulo formado con pequeños trocitos del círculo, usando la fórmula del rectángulo:
¡Y allí tenemos la fórmula para el área del círculo con la cual comenzamos!