Mosaicos de Penrose

Los mosaicos vistos en las páginas anteriores son todos periódicos, esto es, siempre existe una región que rellena el plano por traslaciones.

En 1973, un gran matemático presentó un conjunto de 5 teselas, que posteriormente redujo a 2 que cubren el plano de forma no periódica. Hasta no muchos años antes se creía que no podría existir tal recubrimiento del plano.

La construcción de este famoso par de teselas es relativamente simple.

Se parte de un rombo de ángulos 72 y 108º, que tesela mediante traslaciones. Con este rombo particular se crean dos piezas llamadas Cometa y Dardo que rellenan el plano de forma no periódica si se ensamblan adecuadamente.

Para construir estas piezas, se ha dividido la diagonal mayor según la razón áurea, esto es parte mayor dividido parte menor = Φ=1,61803...

Como es muy fácil equivocarse y unir el dardo y la cometa de forma que la pieza formada por ambas forme mosaico periódico, otro gran matemático (Conway) tuvo una genial idea, poner a cada tesela los arcos marcados, de forma que sólo es válido unir estas piezas entre ellas de forma que coincidan los colores.

La figura muestra las teselas Cometa y Dardo, puedes moverlas desde los puntos marcados e intentar unirlas pero de forma que se respete la continuidad en la línea de uno de los arcos el rojo o el verde. Esto garantiza la no periodicidad de la tesela que se forma.

También pueden obtenerse el Cometa y el dardo partiendo de un pentágono regular.

Recuerda que el ángulo interior de un pentágono es 108º.

Además la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular es Φ, el Número de Oro.

Uniendo cometas y dardos con las normas dadas, pueden formarse 7 vértices diferentes. Esto es, hay 7 combinaciones posibles cuya suma de ángulos es 360º

En el applet siguiente puedes crear tu propio mosaico de Penrose. No olvides que para que sea no periódico han de coincidir los colores de los arcos. Puedes también comenzar creando alguno de los 7 vértices posibles.

Puedes también imprimir muchos dardos y cometas, recortarlos y generar tus mosaicos aperiódicos. Se ha demostrado que estos son infinitos.

Para finalizar se presentan algunos de los mas conocidos mosaicos de Penrose. Cada uno de ellos puede seguir expandiéndose, de forma no periódica hasta el infinito.


Estrella	Rueda de carro	Sol
Comprueba que cada vértice de estas bellas figuras se corresponde con alguno de los vistos.

La historia continúa. Cometas y dardos pueden someterse a deformaciones como las vistas en páginas anteriores, obteniéndose así teselados que rellenan el plano de forma no periódica.

¿Qué surgiría de la imaginación de Escher si hubiese conocido los mosaicos de Penrose?

El estudio de Mosaicos no está cerrado. Te invitamos a sumergirte en él. Descubrirás su belleza, que no es otra que la belleza de las Matemáticas.