Orientabideak

Erantzunak

3. jarduera. Zatiketez gehiago ikasten (saio bat)

Jarduera honen zailtasunik handiena da zatitzaileak zenbait eredutan bi gauza adierazten dituela ulertzea. Batetik, hasierako kantitatea zenbat zatitan banatzen den adieraz dezake; eta, bestetik, guztia banatzerakoan osatzen diren zatiak lortzeko balio duen kopuru finkoa. Hori dela eta, irakaslearen laguntza beharrezkoa da etapa honetan.

Jardueraren erantzuna irekia dela esan badaiteke ere, hau erantzun behar lukete irakaslearen laguntzaz:

1. jarduera:

Ebatzi jarduera hauek, eta gorde erantzunak eta horien justifikazioak testu-prozesadorean.

• Ikaskide batekin batera, proposatu zatitzailea 45 eta hondarra 12 dituen zatiketa bat.

Zenbaki bat aurkitu behar da (zatikizuna), eragiketa honen emaitza dena: beste zenbaki bat (zatidura) bider 45 eta gehi 12. Hau da, erlazio hau bete behar da: zatikizuna = 45 x zatidura + 12. Beraz, 45 (zatitzailea) edozein zenbaki arruntez (zatidura) biderkatu eta 12 (hondarra) batzea nahikoa izango da. Hona hemen zenbait adibide:

57 = 45 x 1 + 12

102 = 45 x 2 + 12

147 = 45 x 3 + 12

192 = 45 x 4 + 12

…

• Begiratu aurreko atalean eman duzuen erantzuna, eta erantzun galdera hauei: Zatiketa bakarra al dago? Zenbat daude? Zergatik?

Zatitzailea 45 eta hondarra 12 duten infinitu zatiketa daude. Aurreko adibideetan ikus daitekeen eta lehen aipatu den erlazioa bete behar da, ez besterik.

• Aurreko bi atalak oinarri hartuta, erantzun: Egia al da lortuko ditugun zatikizun guztien azkenengo zifra 7 edo 2 izango dela? Zergatik?

Aurreko itemetan landutakoaren arabera, zatikizun guztien azkenengo zifra 7 edo 2 dela ikus daiteke:

• Zatidura zenbaki arrunt bat da; beraz, bikoitia edo bakoitia izan daiteke.

• 45 zenbaki bikoiti batez biderkatzean, emaitzaren azkenengo zifra 0 izango da. 12 batzean, zatikizunaren azkenengo zifra 2 izango da.

• 45 zenbaki bakoiti batez biderkatzean, emaitzaren azkenengo zifra 5 izango da. 12 batzean, zatikizunaren azkenengo zifra 7 izango da.

Erreparatu aurreko hiru galderei: Aurkitu al duzue 1.000 baino handiagoa den zatikizun bat eta horri dagokion zatidura? 1.000 baino handiagoak diren zatikizun horietatik zein da txikiena? Zatiketa batean zatikizuna 45 eta zatidura 11 badira, zein da zatitzailea? Eta hondarra?

Ikasleek zatiketaren gaien arteko erlazioa interpretatzea lortu badute, eta zatitzailea 45 eta hondarra 12 badira, horrek zatikizunean nola eragiten duen ulertu badute (azkenengo zifra beti 2 edo 7 izango da), ez dute zailtasun handirik izango 1.000 baino handiagoa den eta aurreko baldintzak betetzen dituen zatikizuna aurkitzeko. Gainera, seguruenik bururatuko zaien lehenengoa 1.002 izango da. Hala ere, 1.000 baino handiagoa den eta azkenengo zifra 7 duen hurrengo zenbakiak (1.007) ez du erlazioa betetzen. Azpimarratu behar da beharrezkoa dela zatikizunaren azken zifra 2 edo 7 izatea, baina ez dela baldintza nahikoa; hau da, erlazio hau bete behar du: zatikizuna = 45 x zatidura + 12. Hots, 1.002ren ondoren dagoen hurrengo gaia 45 bateko handiagoa izango da (zatitzailea eta hondarra finkatuta daudenez zatidura handitu beharko dugu, eta zatidura bateko bat handitzean zatikizuna 45 bateko handituko da). Beraz, lehenengo galderaren erantzuna baiezkoa da. Bigarren galderaren erantzuna: 1.002.

Egokia irudituz gero, azaldu daiteke ezinezkoa dela zatikizunik handiena kalkulatzea (infinitu baitaude), murrizketaren bat kontuan hartu ezean (adibidez, 2.000 baino txikiagoa izatea). Hona hemen zenbait adibide:

1.002 = 45 x 22 + 12

1.047 = 45 x 23 + 12

…

1.992 = 45 x 44 + 12

• Zatiketa batean zatikizuna 45 eta zatidura 11 badira, zein da zatitzailea? Eta hondarra?

Zenbakiak nahiko txikiak direnez (2 zifra), erraz ikusten da 11 zenbakia 45 zenbakian 4 aldiz "sartzen" dela. Horregatik, 45 beste zenbaki batez zatitzean 11 lortu nahi badugu, zenbaki horrek (zatitzaileak) 4 izan behar du. Zatitzailea 4 bada, hondarra 1 izango da, eta erlazio hau beteko da: 45 = 11 x 4 + 1.

Ikasleek ez baldin badute erantzuna erraz lortzen, zenbaki txikiagoekin has gaitezke, zatikizuna eta zatidura jakinik zatitzailea eta hondarra kalkulatzeko modua (zatitzailea kalkulatzeko, zatikizuna zatiduraz zatituz) ondorioztatzen lagunduko dieten zenbakiekin, hain zuzen ere. Zenbait adibide:

• Zatikizuna 24 eta zatidura 4 badira, 24 “Zt” zenbakiaz zatitu beharko dugu 4 lortzeko. Hau da, “Zt” zenbakia kalkulatu behar dugu, 4z biderkatuz 24 emango duena, edo erlazio hau betetzen duena: 24 = 4 x Zt (Zatikizuna = Zatidura x Zatitzailea). “Zt” zenbaki hori 6 da eta 24:4 eginez lortzen da. Kasu honetan, zatiketaren hondarra zero da (zatiketa zehatza) eta erlazio hau betetzen da: Zatikizuna = Zatidura x Zatitzailea.

• Zatikizuna 25 eta zatidura 7 badira, 25 “Zt” zenbakiaz zatitu beharko dugu 7 lortzeko. Hau da, “Zt” zenbaki arrunta kalkulatu behar dugu, 7z biderkatuz 25 emango duena. Hori ezinezkoa denez, zatiketa osoa edo ez-zehatza izango da, eta hondarra zeroren desberdina izango da. Beraz, erlazio hau betetzen duen “Zt” zenbakia aurkitu behar dugu: 25 = 7 x Zt + H (Zatikizuna = Zatidura x Zatitzailea + Hondarra). “Zt” zenbaki hori 3 da eta 25:7 eginez lortzen da, eta hondarra 4 da. Erlazio hau betetzen da: Zatikizuna = Zatidura x Zatitzailea + Hondarra; gure adibidean, 25 = 7 x 3 + 4.
  
  
• Zatiketa batean zatikizuna 45 eta hondarra 1 badira, zein da zatitzailea? Eta hondarra? Zuen erantzunak berrikus itzazue eta pentsa ezazue ea beste posibleren bat dagoen. Baiezkoa bada idatz itzazue aurkitu dituzuen guztiak.

Aurreko azterketan oinarrituz, ikasleak ohartu behar du bi zenbaki arrunt aurkitu behar dituela, biak biderkatuz 44 ematen dutenak; izan ere, zatiketa osoa edo ez-zehatza da, hondarra 1 delako. Hau da, bi zenbaki aurkitu behar dira, “Zt” eta “Zd”, erlazio hau betetzen dutenak: 45 = Zd x Zt + 1.

Aurreko jarduera ebatzi baldin bada, ikasleek ez dute zenbaki horiek aurkitzeko zailtasun handirik izango. Zenbait adibide:

45 = 1 x 44 + 1 (1 eta 44 zatidura eta zatitzailea edo zatitzailea eta zatidura izan daitezke, hurrenez hurren)

45 = 2 x 22 + 1 (2 eta 22 zatidura eta zatitzailea edo zatitzailea eta zatidura izan daitezke, hurrenez hurren)

45 = 4 x 11 + 1 (4 eta 11 zatidura eta zatitzailea edo zatitzailea eta zatidura izan daitezke, hurrenez hurren)

• Zatiketa batean, izan al daitezke zatikizuna 32, zatidura 12 eta hondarra 1? Zergatik?

Galdera horri erantzuteko, ikasleek hau pentsatu beharko lukete: zenbaki bat aurkitu behar dugu, 12z biderkatuz eta emaitzari 1 batuta 31 emango duena. Ez dago ezaugarri hori betetzen duen zenbaki arruntik; hots, ez dago erlazio hau betetzen duen “Zt.” zenbakirik: 32 = 12 x Zt + 1. Beraz, zatiketa hori ezin dela egin adierazi beharko dute.

• Ariketa horiek guztiak egin ondoren, lortuko al zenukete zatiketa baten gaiak (zatikizuna, zatitzailea, zatidura eta hondarra) erlazionatzen dituen formularik? Dakizuenez, zatiketa zehatz batean, zatitzailea zatiduraz biderkatzean zatikizuna lortzen da: zatiketa osoetan ba al dago antzeko formularik? Idatzi ondorio guztiak testu-fitxategi batean eta aztertu beste taldeekin batera.

Jardueraren amaieran, ikasleek zatiketaren algoritmoa (zatiketaren gaien arteko erlazioa) ulertzea eta zuzentasunez erabiltzea lortu nahi da: Zatikizuna = Zatidura x Zatitzailea + Hondarra.

2. jarduera:

Ebatzi jarduera hauek:

• Jakinik:

12 x 10 = 120

12 x 100 = 1.200

12 x 1000 = 12.000

12 x 10.000 = 120.000

Erabaki:

• 130:12 10 baino handiagoa, txikiagoa edo berdina den.

• 1.000:12, 100 baino handiagoa, txikiagoa edo berdina den.

• 11.719:12, 1.000 baino handiagoa, txikiagoa edo berdina den.

• 162.985:12, 10.000 baino handiagoa, txikiagoa edo berdina den.

Idatzi erantzunak testu-prozesadorean, eta justifikatu.

Hasieran, zailtasunak badituzte kalkulu horiek egiteko, banaketaren testuingurura eraman daiteke, eta hau galdetu: 130 € zati berdinetan banatuz gero 24 pertsonaren artean, bakoitzak 10 € baino gehiago ala gutxiago jasoko luke? Bakoitzak 10 € jasoko balitu, zenbat diru banatuko litzateke? Beste itemekin modu berean jokatu daiteke.

Lortu beharreko erantzunak hauek dira:

130:12 zatiketaren emaitza 10 baino handiagoa da.

1000:12 zatiketaren emaitza 100 baino txikiagoa da.

11719:12 zatiketaren emaitza 1.000 baino txikiagoa da.

162985:12 zatiketaren emaitza 10.000 baino handiagoa da.

3. jarduera:

Ebatzi jarduera hauek, eta jaso erantzunak testu-prozesadorearen bidez.

• Jonek, kalkulagailuz 15:2 egitean, 7,5 lortu zuen. Gero, 15:4 egin eta 3,75 lortu zuen. Azkenik, 15:8 egin eta 1,875 lortu zuen. Emaitza horietatik abiatuz, nola lortuko zenukete zatiketa bakoitzaren hondarra kalkulagailua erabiliz? Azaldu prozedura eta egiaztatu eragiketak, prozedurak balio duela segurtatzeko. Prozedura hori erabiliz, kalkulatu 5.425:16 zatiketaren hondarra, kalkulagailua erabiliz 339,0625 emaitza lortu dela jakinik.
  • 15:2 = 7,5

Lortutako emaitza ez da zenbaki arrunt bat, zenbaki hamartar bat baizik. Eta honela irakurtzen da: “7 bateko, 5 hamartar”. Zenbaki horrek, beraz, zatiketaren zatidura 7 dela adierazten du, eta zatitzailea baino txikiagoa den hondar bat dagoela “sobera”. Hain zuzen ere, emaitzako “5 hamartarrak” hondarraren balioa adierazten du. “5 hamartar” “5 zati 10” bezala interpreta daitekeenez, eta 5 zenbakia 10en erdia denez, hondarrak zatitzailearen erdia izan beharko du. Kasu honetan, zatitzailea 2 da eta erdia 1 da. Horrela, 15:2 zatiketa osoan, badakigu zatidura 7 eta hondarra 1 direla; hau da: 15 = 7x2 + 1 (gogoratu zatiketa oso baten gaien arteko erlazioa). Zergatik ageri da kalkulagailuan 7,5 emaitza? Kalkulagailuaren bisorean 7,5 baino ageri ez denez, esan nahi du zatiketa horren hondarra zero dela. Hau da: 15 = 7,5x2; edo bestela: 15 = (7+0,5) x2 = 7x2 + 0,5x2 = 14 + 1. Beraz, zer egin behar dugu kalkulagailuan 1 hondarra lortzeko? Egin dezagun azterketa hau: 7,5 emaitzak zatiketa osoaren zatidura 7 dela adierazten du, eta zatitzailea 2 denez, badakigu: 15 = 7x2 + H; edo beste era batean adierazita: 15 – 7x2 = H. Beraz, 15 – 14 = H, hau da, H = 1. Hori da lortu nahi genuen balioa.

• 15:4 = 3,75

Aurrekoaren antzeko arrazoiketa egiten badugu: 15 = 3,75x4. Hortaz, badakigu zatiketa osoan zatidura arrunta 3 dela, eta, horren ondorioz, 15 = 3x4 + H betetzen dela. H kalkulagailuaren bidez kalkulatzeko hau egingo genuke: 15 = (3+0,75) x4 = 3x4 + 0,75x4 = 12 + 3. Horrek adierazten du: H = 3.

• 15:8 = 1,875; 15 = 1,875x8; 15 = (1+0,875) x8; 15 = 1x8 + 0,875x8; 15 = 8 + 7. H = 7.

• 5.425:16 = 339,0625; 5.425 = 339,0625x16; 5425 = (339+0,625) x16 = 339x16 + 0,0625x16 = 5.424 + 1. H = 1.