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Regulares |
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| Tetraedro |
Hexaedro |
Octaedro |
Dodecaedro |
Icosaedro |
| * Caras, aristas y vértices | * Simetrías | * Estrellas |
| * ¿Cuántos hay? | * Dualidad o polaridad | * Secciones |
| * Esferas | * Desenvolvimientos planos | * Magnitudes y cálculos |
* Caras, aristas y vértices
Un poliedro es una figura tridimensional limitada por varios planos que intersectan en el espacio.
El polígono definido por las intersecciones de cada plano con otros planos, es una cara del poliedro.
El segmento común a dos caras es una arista del poliedro.
Los puntos donde se juntan tres o más aristas son los vértices del poliedro.
Cada cara tiene tantos ángulos superficiales (ángulos planos) como aristas la limitan.
En cada arista, dos caras forman entre sí un ángulo diedro.
En cada vértice hay un ángulo sólido formado por todas las caras que lo definen.
Un poliedro convexo es aquel en el que, uniendo con un segmento dos puntos superficiales cualquiera, todos los puntos intermedios están dentro del poliedro o en la superficie.La especie de una cara poligonal es el número de lados o vértices que tiene.
El orden de un ángulo sólido es la sucesión ordenada de las especies de las caras que lo forman.
En un poliedro regular se cumplen las siguientes condiciones:
* Las caras son polígonos regulares, todas iguales y de la misma especie.
* Todas las aristas miden lo mismo.
* Todos los ángulos superficiales, ángulos diedros y ángulos sólidos son iguales y del mismo orden.
* Existe un centro geométrico, único para tres esferas:-Esfera inscrita, que toca todas las caras en sus puntos centrales.
-Esfera media, que pasa por los puntos medios de todas las aristas.
-Esfera circunscrita, que pasa por todos los vértices.Resulta fácil probar que no puede haber más que cinco poliedros regulares. Para formar un ángulo sólido el mínimo son tres polígonos concurrentes, pero la suma de los ángulos superficiales debe ser menor de 360 para que no lleguen a formar un plano único.
El ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60º. No se puede llegar a 6 porque sumarían 360. Así que las posibilidades son 3 (tetraedro), 4 (octaedro) y 5 (icosaedro)
El ángulo de un cuadrado son 90º. Sólo valen 3 (hexaedro) porque 4 sumarían 360.
El ángulo de un pentágono mide 72º. Sólo valen 3 (icosaedro) porque con 4 se rebasan los 360.
El ángulo de un hexágono mide 120º, así que con 3 ya no hay ángulo sólido.
Dado que todas las caras de un poliedro regular equidistan del centro, existe una esfera inscrita tangente a todas ellas. Su diámetro es la distancia entre caras opuestas.
La esfera media pasa por los puntos medios de todas las aristas. Su diámetro es la distancia entre aristas opuestas.
La esfera circunscrita pasa por todos los vértices. Su diámetro es la distancia entre vértices opuestos. Cuando hablamos de radio del poliedro, nos referimos al radio de esta esfera.
Estos poliedros tienen ejes de rotación y planos de simetría, característicos de su regularidad. Todos pasan por el centro y por puntos significativos como vértices, puntos medios de aristas y centros de caras.
En la rotación de un poliedro alrededor de un eje se dan momentos en que la posición es idéntica a la inicial, a intervalos divisores de 360º.
Un plano de simetría divide el poliedro en dos
partes que son imagen especular una de la otra.
Cada punto de un lado del plano es replicado por otro en el lado contrario, a igual distancia del plano.Es la relación entre un poliedro dado y el resultante de situar un vértice en el centro de cada cara.
Serán duales, polares o conjugados los poliedros regulares que tengan el mismo sistema de ejes de simetría.
El tetraedro es autopolar, su dual es otro tetraedro.
El hexaedro y el octaedro son duales uno del otro, como también el dodecaedro y el icosaedro.
Podemos construir cualquier poliedro regular a partir de una figura plana en la que están desplegadas todas las caras. Esta
figura es el desenvolvimiento plano(puedes pasar el cursor sobre la figura de la derecha)
Teóricamente el desenvolvimiento se obtiene a partir de la figura haciendo abatimientos de sus caras que giran sobre las aristas.
En la sección Desenvolvimientos ofrecemos una colección
en pdf listos para imprimir y construir las figurasProlongando los lados de un polígono regular de 5 lados o más, aparecen polígonos estrellados.
Del mismo modo, prolongando las caras de un poliedro regular podemos crear poliedros estrellados.
La estrella aparece cuando caras que antes no formaban aristas se encuentran. El tetraedro no produce estrella porque cada cara ya forma arista con todas las demás. El hexaedro tampoco porque cada cara forma arista con todas las demás menos una, pero ésta es paralela así que no intersectan aunque se prolonguen.
Las secciones son las figuras planas que se producen cuando un plano intersecta un sólido. Dependiendo de la orientación del plano respecto de las líneas principales del poliedro, las secciones resultantes pueden ser formas geométricas características.
En todos los poliedros regulares es posible hacer una sección en la que se recogen las principales magnitudes de la figura. Se llama Sección principal.
Las medidas lineales y angulares de los poliedros pueden calcularse con la ayuda de diferentes recursos. Para el cálculo gráfico son de utilidad las secciones principales, y para el numérico la aplicación de recursos básicos como el teorema de Pitágoras o la trigonometría.
La Superficie del poliedro es igual a la suma de las áreas de las caras.
El Volumen del poliedro es igual al de una pirámide que tiene como base una de las caras y como altura la apotema del poliedro, multiplicado por el número de caras. (volumen que es igual a un tercio del prisma de igual base y altura).
La Apotema del poliedro es el radio de la circunferencia inscrita. Es el cateto de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es el radio del poliedro y el otro cateto el radio del polígono que forma la cara.
El Radio del poliedro es el de la circunferencia circunscrita. Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que los catetos son la apotema y el radio de polígono de la cara, y también la de otro triángulo rectángulo en el que los catetos son la mitad del lado y el radio de la circunferencia media.
El Lado del poliedro es el doble del cateto de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es el radio del poliedro y el otro cateto el radio de la circunferencia media.
