Orientaciones

Solucionario

Actividad 3. Aprendiendo más sobre las divisiones(1 sesión)

La mayor dificultad que presenta esta actividad radica en el doble papel que puede representar el divisor en los diferentes modelos: número de partes en las que se divide la cantidad inicial o bien cantidad fija que sirve para ir formando las diferentes partes en las que se divide la cantidad total. Es por eso que la intervención del/de la docente es fundamental en esta etapa.

Si bien la actividad puede considerarse de respuesta abierta, se espera que con la ayuda del/de la profesor/a puedan responder lo siguiente:

Ejercicio 1:

Resolved las siguientes actividades, registrando las respuestas y las justificaciones de las mismas mediante el procesador de textos.

• Junto a un/a compañero/a, proponed una división en la que el divisor sea 45 y el resto 12.

Se trata de encontrar un número (dividendo) que sea el resultado de multiplicar otro número (cociente) por 45 y sumarle 12. Es decir, que se cumpla la relación: dividendo = 45 x cociente + 12. Bastará entonces multiplicar 45 (divisor) por cualquier número natural (cociente) y sumarle 12 (resto), para hallar el dividendo. Algunos ejemplos:

57 = 45 x 1 + 12

102 = 45 x 2 + 12

147 = 45 x 3 + 12

192 = 45 x 4 + 12

…

• Mirando vuestra respuesta al apartado anterior, responded: ¿hay una sola división? ¿cuántas hay? ¿por qué?

En esta instancia puede señalarse que, en realidad, hay infinitas divisiones en las que el divisor es 45 y el resto es 12. Basta que cumplan con la relación antes mencionada, la que puede observarse en los ejemplos anteriores.

• Con base en los dos apartados anteriores, responded: ¿será cierto que todos los dividendos que podemos obtener terminarán con 7 o con 2? ¿por qué?

A través de lo tratado en los dos ítems anteriores puede observarse que, efectivamente, todos los dividendos terminarán con 7 o con 2 pues:

• El cociente es un número natural, por lo que puede ser par o impar.

• Al multiplicar 45 por un número par, el resultado terminará en 0. Al sumarle 12, el dividendo será un número finalizado en 2.

• Al multiplicar 45 por un número impar, el resultado terminará en 5. Al sumarle 12, el dividendo será un número finalizado en 7.

Observando ahora las tres respuestas anteriores: ¿podéis encontrar un cociente y un dividendo de manera que éste último sea mayor que 1000? De entre esos dividendos mayores que 1000, ¿cuál es el dividendo más pequeño que podéis encontrar?

Si los alumnos y alumnas lograron interpretar la relación entre los términos de la división y, cómo ésta incide en la conformación del dividendo cuando el divisor es 45 y el resto es 12 (siempre terminará en 2 o en 7), no tendrán mayores dificultades en plantear un dividendo con estas características mayor que 1000 y, probablemente, el primero que se les ocurra sea el 1002. Sin embargo, el próximo número mayor que 1000 y terminado en 7 (1007), no cumple la relación. Habrá que hacer hincapié en el hecho de que es necesario que el dividendo buscado termine en 2 o en 7, pero no es suficiente, debe cumplir la relación: dividendo = 45 x cociente + 12. Es decir, el próximo candidato después del 1002 será un número 45 unidades más grande (pues el divisor y el resto se mantienen fijos en la relación, por lo que habrá que ir aumentando el cociente y, por cada unidad que éste aumente, el dividendo lo hará en 45 unidades). Por lo tanto, la respuesta a la primera pregunta es afirmativa. La segunda respuesta es: 1002.

También se puede, si se considera conveniente, hacer notar al alumnado que es imposible encontrar un dividendo que sea el más grande posible (pues hay infinitos), a menos que deba cumplir una restricción determinada (por ejemplo, ser menor que 2000). Algunos de ejemplos:

1002 = 45 x 22 + 12

1047 = 45 x 23 + 12

…

1992 = 45 x 44 + 12

• Si en una división el dividendo es 45 y el cociente es 11 ¿cuál es el divisor? ¿y el resto?

Como los números son relativamente pequeños (2 cifras), es fácil notar que el número 11 “cabe” 4 veces en el número 45. Por esta razón, si se pretende obtener 11 al dividir 45 entre otro número, éste último (divisor) debe ser 4. Si el divisor es 4, el resto será 11, de esta manera se cumplirá la relación: 45 = 11 x 4 + 1.

Si los/as alumnos/as no encontrasen fácilmente la respuesta, podría comenzarse con números más pequeños aún a modo de ejemplos, que permitieran inferir la manera de calcular el divisor y el resto cuando se conocen el dividendo y el cociente (dividiendo el dividendo entre el cociente, para calcular el divisor). Algunos ejemplos:

• Si el dividendo es 24 y el cociente 4, se trata de dividir 24 entre un número “d” para obtener 4. Es decir, hay que encontrar un número “d” que multiplicado por 4 nos de por resultado 24, o también un número “d” que cumpla la relación 24 = 4 x d (Dividendo = Cociente x Divisor). Ese número “d” es 6 y se obtiene dividiendo 24:4. En este caso, el resto de la división es cero (división exacta) y sigue cumpliéndose la relación: Dividendo = Cociente x Divisor + Resto.

• Si el dividendo es 25 y el cociente 7, se trata de dividir 25 entre un número “d” para obtener 7. Es decir, hay que encontrar un número natural “d” que multiplicado por 7 nos de por resultado 25. Como esto es imposible, la división entera será inexacta y existirá un resto distinto de cero. Se trata, entonces, de encontrar un número “d” que cumpla la relación 25 = 7 x d + R (Dividendo = Cociente x Divisor + Resto). Ese número “d” es 3 y se obtiene dividiendo 25:7, con un resto igual a 4. Sigue cumpliéndose la relación: Dividendo = Cociente x Divisor + Resto, en este caso 25 = 7 x 3 + 4.
  
  
• Si en una división el dividendo es 45 y el resto es 1 ¿cuál es el divisor? ¿y el cociente? Revisad vuestra respuesta y pensad si hay alguna otra posible. En caso afirmativo escribid todas las que encontrasteis.

Con base al análisis anterior, el alumnado debería descubrir que se trata de encontrar dos números naturales cuyo producto es 44, pues la división es inexacta, ya que el resto es 1. Es decir, se trata de encontrar dos números “d” y “C” que cumplan la relación: 45 = C x d + 1.

Si se ha resuelto la actividad anterior, los/as estudiantes no tendrán mayores dificultades en encontrar dichos números. Algunos ejemplos:

45 = 1 x 44 + 1 (1 y 44 pueden ser cociente y divisor, o divisor y cociente, respectivamente)

45 = 2 x 22 + 1 (2 y 22 pueden ser cociente y divisor, o divisor y cociente, respectivamente)

45 = 4 x 11 + 1 (4 y 11 pueden ser cociente y divisor, o divisor y cociente, respectivamente)

• ¿Es posible que en una división el dividendo sea 32, el cociente sea 12 y el resto sea 1? ¿Por qué?

Para responder esta pregunta, los alumnos y alumnas deberán pensar en encontrar un número que multiplicado por 12 de por resultado 31, pues el resto es 1. No hay un número natural que tenga esta característica, es decir, no hay ningún número “d” tal que cumpla la relación: 32 = 12 x d + 1. Por lo tanto, deberán manifestar la imposibilidad de esta división.

• Después de todos estos ejercicios, ¿podríais encontrar una fórmula que relacionara entre si los términos de una división (dividendo, divisor, cociente y resto)? Sabéis que en una división exacta si multiplicáis el divisor por el cociente da el resto, ¿hay alguna fórmula parecida en las divisiones enteras? Escribid las conclusiones en un archivo de texto y discutidlas con los otros grupos.

La conclusión que se pretende que obtengan al final de esta actividad es la comprensión y correcta utilización del algoritmo de la división (relación entre sus términos): Dividendo = Cociente x Divisor + Resto.

Ejercicio 2:

Resolved las siguientes actividades:

• Sabiendo que:

12 x 10 = 120

12 x 100 = 1200

12 x 1000 = 12000

12 x 10000 = 120000

Decidid si:

• 130:12 dará un número mayor, menor o igual que 10.

• 1000:12 dará un número mayor, menor o igual que 100.

• 11719:12 dará un número mayor, menor o igual que 1000.

• 162985:12 dará un número mayor, menor o igual que 10000.

Anotad las respuestas en el procesador de textos, justificando las mismas.

Si estas estimaciones plantearan alguna dificultad en un primer momento, se podrá remitir al contexto de reparto preguntando al alumnado, por ejemplo: si se reparten 130€ en partes iguales a 24 personas, ¿cada una recibirá más o menos que 10€?; si cada una recibiera 10€, ¿cuánto dinero se repartió? De manera similar, se podrá proceder con el resto de ítems.

Las respuestas que deberían obtener son:

130:12 dará un número mayor que 10.

1000:12 dará un número menor que 100.

11719:12 dará un número menor que 100.

162985:12 dará un número mayor que 100.

Ejercicio 3:

Resolved las siguientes actividades, registrando las respuestas mediante el procesador de textos.

• Juan hizo con la calculadora 15:2 y obtuvo 7,5. Luego hizo 15:4 y obtuvo 3,75. Finalmente hizo 15:8 y obtuvo 1,875. ¿Cómo haríais, a partir de estos resultados, para encontrar el resto de cada una de las divisiones usando la calculadora? Explicad el procedimiento y verificadlo comprobando estas operaciones. Usando dicho procedimiento responded lo siguiente: si Juan hizo con la calculadora 5425:16 y obtuvo 339,0625, ¿cómo haríais, a partir de este resultado, para encontrar el resto de la división entera usando la calculadora? Explicad el procedimiento.
  • 15:2 = 7,5

El resultado obtenido no es un número natural, sino un número decimal que se lee “7 enteros, 5 décimos”. Este número indica, entonces, que en la división entera el cociente es 7, pero que “sobra” un resto que resulta ser menor que el divisor. Precisamente, el “5 décimos” del resultado nos indica el valor de ese resto. Como “5 décimos” puede interpretarse como “5 entre 10” y, 5 es la mitad de 10, el resto tiene que ser la mitad del divisor. En este caso, como el divisor es 2, su mitad es 1. Así sabemos que en la división entera 15:2 el cociente es 7 y el resto es 1, es decir: 15 = 7x2 + 1 (recordar la relación entre los términos de una división entera). ¿Por qué, entonces, la calculadora da el resultado 7,5? Como no se observan más dígitos en el visor de la calculadora más que 7,5 significa que el resto de esta división es cero, es decir: 15 = 7,5x2, o también: 15 = (7+0,5) x2 = 7x2 + 0,5x2 = 14 + 1, como ya sabíamos. ¿Cómo proceder, entonces, con la calculadora para obtener este resto 1? Hagamos este análisis: el resultado 7,5 está indicando que el cociente de la división entera es 7, como el divisor es 2, sabemos que 15 = 7x2 + R, o también que 15 – 7x2 = R. Por lo tanto, 15 – 14 = R, es decir, R = 1. Este es el resto buscado.

• 15:4 = 3,75

Haciendo un razonamiento análogo al anterior: 15 = 3,75x4. Sabemos, entonces, que en la división entera el cociente natural de esta división es 3, por lo que 15 = 3x4 + R. Para calcular R con la calculadora procedemos así: 15 = (3+0,75) x4 = 3x4 + 0,75x4 = 12 + 3. Esto me dice que R = 3.

• 15:8 = 1,875; 15 = 1,875x8; 15 = (1+0,875) x8; 15 = 1x8 + 0,875x8; 15 = 8 + 7. R = 7.

• 5425:16 = 339,0625; 5425 = 339,0625x16; 5425 = (339+0,625) x16 = 339x16 + 0,0625x16 = 5424 + 1. R = 1.